Kāds skaitlis atbilst 46251, kā persiks atbilst saldumam?

Sadaļas: Matemātika

Rokasgrāmata ir paredzēta matemātikas skolotājiem tehniskajās skolās, kā arī visu specialitāšu otrā kursa studentiem.

Šajā rakstā izklāstītas sērijas teorijas pamatjēdzieni. Teorētiskais materiāls atbilst vidējās profesionālās izglītības valsts izglītības standarta prasībām (Krievijas Federācijas Izglītības ministrija. M., 2002).

Teorētiskā materiāla prezentācija par visu tematu ir saistīta ar daudzu piemēru un uzdevumu izskatīšanu, tiek veikta pieejamā, ja iespējams, stingrā valodā. Rokasgrāmatas beigās ir piemēri un uzdevumi, ko studenti var veikt pašpārvaldes režīmā.

Rokasgrāmata ir paredzēta korespondences un pilna laika izglītības studentiem.

Ņemot vērā tehniskās skolas audzēkņu apmācību, kā arī ļoti ierobežoto stundu skaitu (12 stundas + 4 lbs), kuru programma ļauj pabeigt augstāku matemātiku tehniskajās skolās, tiek izlaisti stingrie secinājumi, kas rada lielas grūtības mācībām, tikai piemēriem.

Matemātiskā izteiksmē radušās problēmas risinājumam, piemēram, dažādu funkciju, to atvasinājumu un integrālu kombinācijai, jāspēj „piesaistīt skaitlim”, kas visbiežāk kalpo kā galīgā atbilde. Šim nolūkam dažādās matemātikas nozarēs ir izstrādātas dažādas metodes.

Matemātikas nozari, kas ļauj pareizi atrisināt jebkuru pareizu problēmu ar praktisku pielietojumu, sauc par sērijas teoriju.

Pat ja dažas izsmalcinātas matemātiskās analīzes koncepcijas neietekmēja sērijas teoriju, tās uzreiz attiecās uz sērijām, kas kalpoja kā instruments šo jēdzienu nozīmīguma pārbaudei. Šī situācija joprojām pastāv.

kur ; ;...; ;... - sērijas dalībnieki; - sērijas n-to vai kopīgo locekli sauc par bezgalīgu sēriju (rindu).

Ja sērijas dalībnieki:

  • numurus, sēriju sauc par ciparu;
  • vienas zīmes numuri, sērija tiek saukta par pastāvīgās pazīmes zīmi;
  • dažādu zīmju skaits, sēriju sauc par pārmaiņus;
  • pozitīvie skaitļi, sēriju sauc par zīmi pozitīvi;
  • numurus, kuru apzīmējumi stingri aizstāj, sēriju sauc par mainīgajām rakstzīmēm;
  • funkciju, sēriju sauc par funkcionālo;
  • pakāpe, sēriju sauc par jaudu;
  • trigonometriskās funkcijas, sēriju sauc par trigonometrisko.

1.1. Sērijas sērijas pamatjēdzieni.

Numuru sauc par veidlapas summu

kur,,,...,,..., ko sauc par sērijas locekļiem, veido bezgalīgu secību; dalībnieks tiek saukts par sērijas kopīgo locekli.

sastāv no pirmajiem sērijas dalībniekiem (1.1.), sauc par šīs sērijas daļējām summām.

Katru rindu var saistīt ar daļēju summu secību.

Ja ar skaitļa n bezgalīgu pieaugumu sērijas daļējā summa mēdz pārsniegt robežu, tad sēriju sauc par konverģentu, un skaitlis ir konverģentu sērijas summa, t.i.

Šis ieraksts ir līdzvērtīgs

Ja sērijas (1.1) daļējai summai ar neierobežotu n pieaugumu nav ierobežota limita (parasti ir), tad šādu sēriju sauc par atšķirīgu.

Ja sērija ir konverģence, tad pietiekami lielas n vērtība ir aptuvena S sērijas summas izteiksme.

Atšķirību sauc par atlikušo sēriju. Ja sērija konverģē, tā atlikums mēdz būt nulle, t.i. un otrādi, ja atlikums mēdz būt nulle, tad sērija konverģē.

1.2. Skaitlisko sēriju piemēri.

1. piemērs. Daudzas sugas

Ģeometriskā sērija veidojas no ģeometriskas progresijas dalībniekiem.

Ir zināms, ka tās pirmo n locekļu summa. Acīmredzot: tā ir sērijas (1.2.) Daļējā summa.

Sērija (1.2) ir veidlapa:

Sērija (1.2) ir veidlapa:

nav ierobežojumu, sērija atšķiras.

- ierobežots skaits saplūst.

Tātad, šī sērija konverģē pie un atšķiras pie.

2. piemērs. Daudzas sugas

Mēs rakstām šīs sērijas daļējo summu:

Summa ir lielāka par šādu summu:

Tāpēc, ja, tad, t.i. harmoniskā rinda atšķiras.

3. piemērs. Daudzas sugas

sauc par vispārēju harmoniku.

Ja, tad šī sērija tiek ieviesta harmoniskā sērijā, kas ir atšķirīga.

Ja, tad dotās sērijas dalībnieki ir lielāki par atbilstošajiem harmonikas sērijas locekļiem, un tāpēc tie atšķiras. Kad mums ir ģeometriska sērija, kurā; viņš ir konverģents.

Tātad vispārinātās harmonikas sērija konverģē pie un atšķiras pie.

1.3. Nepieciešamās un pietiekamas konverģences pazīmes.

Nepieciešamā zīmes konverģences zīme.

Sērija var saplūst tikai ar nosacījumu, ka tā kopējais termins mēdz būt nulle ar neierobežotu skaita pieaugumu :.

Ja, tad sērija atšķiras - tas ir pietiekams signāls par sērijas atšķirībām.

Pietiekami pierādījumi par sērijas konverģenci ar pozitīviem nosacījumiem.

Zīme par rindu salīdzināšanu ar pozitīviem locekļiem.

Izpētītā sērija konverģē, ja tās locekļi nepārsniedz citu, acīmredzami konverģējošu sēriju atbilstošos dalībniekus; pētītās sērijas atšķiras, ja tās locekļi pārsniedz citu, acīmredzami atšķirīgu sēriju attiecīgos dalībniekus.

Ja rindā ar pozitīviem locekļiem

nosacījums ir izpildīts, sērija konverģē pie un atšķiras pie.

D'Alembert zīme nesniedz atbildi, ja. Šajā gadījumā sērijas izpētei tiek izmantotas citas metodes.

Ierakstiet tās kopīgā dalībnieka sēriju:

Liekot,,,..., mums ir bezgalīgs ciparu secība:

,,. Pievienojot savus biedrus, mēs iegūstam virkni

To darot, mēs iegūstam virkni

Piešķirot vērtības 1,2,3,... un ņemot vērā, ka,,,..., mēs saņemam numuru

Atrodiet sērijas n-locekli pēc saviem pirmajiem dalībniekiem:

Sērijas saucēji, sākot ar pirmo, ir vienādi skaitļi; tāpēc sērijas n-loceklim ir forma.

Sērijas dalībnieku skaitītāji veido dabisku ciparu virkni un atbilstošos saucējus - dabisku ciparu virkni un atbilstošos saucējus - dabisku ciparu virkni, sākot no 3. Zīmes, kas aizstāj ar likumu vai likumu. Tādējādi sērijas n loceklim ir forma. vai

Izpētīt sērijas konverģenci, piemērojot nepieciešamo konverģences zīmi un salīdzinājuma zīmi:

Nepieciešamā zīmes konverģences zīme ir apmierināta, bet, lai atrisinātu konverģences jautājumu, ir jāpiemēro viena no pietiekamām konverģences pazīmēm. Salīdzināsim šo sēriju ar ģeometrisko sēriju.

kopš tā laika.

Salīdzinot šīs sērijas dalībniekus, sākot ar otro, ar atbilstošajiem ģeometriskās sērijas locekļiem, iegūstam nevienlīdzību

t.i. šīs sērijas dalībnieki, sākot ar otro, ir mazāk ģeometrisko sēriju locekļi, no kā izriet, ka šī sērija konverģē.

Šeit ir pietiekama norāde par sērijas atšķirībām; tāpēc sērija atšķiras.

Tiek veikta nepieciešamā sērijas konverģences zīme. Salīdziniet šo sēriju ar vispārējo harmonisko sēriju

konverģē, jo šī sērija konverģē.

Izpētīt sērijas konverģenci, izmantojot dalamber zīmi:

Aizvietojot numuru n + 1 par sērijas kopējo locekli, nevis n, mēs saņemam. Atrodiet i-to dalībnieka un n-tā dalībnieka attiecību ar:

Tāpēc šī sērija konverģē.

Tāpēc šī sērija ir atšķirīga.

, t.i. rinda atšķiras.

Ii. Mainīga rinda

2.1. Alternatīvu sēriju jēdziens.

to sauc par pārmaiņus, ja starp tās locekļiem ir gan pozitīvi, gan negatīvi skaitļi.

Numuru virkne tiek saukta pārmaiņus, ja kādam no diviem blakus esošiem terminiem ir pretējas zīmes.

kur visiem (t.i., sērija, kuras pozitīvie un negatīvie termini pārmaiņus ievēro viens otru). Piemēram,

Maiņstrāvas sērijām ir pietiekama konverģences pazīme (1717. gadā Leibnica izteikusi vēstulē I. Bernullijam).

2.2 Leibnica zīme. Absolūtā un nosacītā sērijas konverģence.

Teorēma (Leibnica zīme).

Mainīgā sērija konverģē, ja:

Sērijas locekļu absolūtu vērtību secība monotoni samazinās, t.i. ;

Sērijas kopējais loceklis mēdz būt nulle :.

Turklāt sērijas S summa atbilst nevienlīdzībai

Pārejošo sugu sēriju izpēte

(ar negatīvu pirmo locekli) tiek samazināts, reizinot visus tās locekļus ar sērijas izpēti.

Sērijas, kurām ir izpildīti Leibnizas teorēmas nosacījumi, sauc par Leibnicu (vai Leibnica sēriju).

Šī attiecība ļauj iegūt vienkāršu un ērtu kļūdu novērtējumu, ko mēs veicam, aizstājot šīs sērijas summu S ar tā daļējo summu.

Izmestā rinda (atlikums) ir arī mainīga rinda, kuras summa ir mazāka par šīs rindas pirmo locekli, t.i.. Tāpēc kļūda ir mazāka par pirmā kritušā dalībnieka moduli.

Piemērs. Aprēķiniet aptuveni rindas summu.

Risinājums: šī sērija Leibniz tipa. Viņš saplūst. Varat rakstīt:

Ņemot piecus locekļus, t.i. aizstājot ar

, izdarīt mazāku kļūdu

Maiņstrāvas sērijām ir šāds vispārējs pietiekams konverģences kritērijs.

Teorēma. Ļaujiet norādīt alternatīvās sērijas

Ja sērija konverģē

sastāv no šīs sērijas dalībnieku moduļiem, mainās sērija saplūst.

Leibnizas konverģences pazīme mainīgajām sērijām ir pietiekams rādītājs pārmaiņu sēriju konverģencei.

Mainīgo sēriju sauc par absolūti konverģentu, ja sērijas, kas sastāv no tās dalībnieku absolūtām vērtībām, konverģē, t.i. katrs absolūti konverģents ir konverģents.

Ja mainīgās sērijas konverģē un sērijas, kas sastāv no tās locekļu absolūtām vērtībām, atšķiras, tad šo sēriju sauc par nosacīti (ne absolūtu) konverģentu.

Izpētīt konverģences (absolūtā vai nosacītā) mainīgo sēriju:

Šīs sērijas dalībnieki absolūtā vērtībā monotoni samazinās:

Līdz ar to saskaņā ar Leibniz atribūtu sērija konverģē. Uzziniet, vai šī sērija konverģē absolūti vai nosacīti.

Sērija, kas sastāv no konkrētas sērijas absolūtām vērtībām, ir harmoniskā sērija, kas atšķiras. Tādēļ šī sērija konverģē nosacīti.

Šīs sērijas dalībnieki absolūtā vērtībā monotoni samazinās:

Sērija atšķiras, jo Leibnica zīme nav apmierināta.

Izmantojot Leibnica zīmi, mēs saņemam

t.i. sērija konverģē.

Apsveriet virkni, kas sastāv no konkrētas sērijas dalībnieku absolūtām vērtībām:

Tā ir formas ģeometriskā sērija, kurā tiek konverģēts. Tāpēc šī sērija ir pilnīgi konverģence.

Izmantojot Leibnica zīmi, mums ir

, t.i. sērija konverģē.

Apsveriet virkni, kas sastāv no konkrētas sērijas dalībnieku absolūtām vērtībām:

Tā ir vispārēja harmonikas sērija, kas kopš tā laika atšķiras. Tādēļ šī sērija konverģē nosacīti.

Iii. Funkcionālais diapazons

3.1. Funkcionālās sērijas jēdziens.

Sēriju, kuru locekļi ir funkcijas, sauc par funkcionāliem:

Piešķirot noteiktu vērtību, mēs iegūstam vairākas sērijas

kas var būt gan konverģents, gan atšķirīgs.

Ja iegūto skaitlisko sēriju konverģē, tad punktu sauc par funkcionālās sērijas konverģences punktu; ja sērija atšķiras - funkcionālās sērijas atšķirības punkts.

Argumentu skaitlisko vērtību kopums, kurā funkcionālā sērija konverģē, tiek saukts par tās konverģences reģionu.

Funkcionālās sērijas konverģences jomā tās summa ir noteikta funkcija :.

Tas tiek noteikts konverģences jomā, izmantojot vienlīdzību

- daļēja rindas summa.

Piemērs. Atrodiet sērijas konverģences reģionu.

Lēmums. Šī sērija ir virkne ģeometrisku progresēšanu ar saucēju. Tāpēc šī sērija saplūst, t.i. ar visiem; sērijas summa ir vienāda;

3.2. Jaudas sērija.

Jaudas sērija ir virkne sugu.

kur numurus sauc par sērijas koeficientiem, un dalībnieks ir sērijas kopējais dalībnieks.

Jaudas sērijas konverģences joma ir visu to vērtību kopums, ar kurām konkrētā sērija saplūst.

Skaits tiek saukts par jaudas sērijas konverģences rādiusu, ja sērija saplūst un, turklāt, absolūti un kad sērija atšķiras.

Konverģences rādiuss tiks atrasts, izmantojot dalamber zīmi:

t.i. ja jaudas sērija konverģē uz jebkuru atbilstošu šo nosacījumu un atšķiras.

No tā izriet, ka, ja ir ierobežojums

tad sērijas konverģences rādiuss ir vienāds ar šo robežu un jaudas sērija konverģē kā, t.i. intervālā, ko sauc par konverģences intervālu (intervālu).

Ja, tad jaudas sērija konverģē vienā punktā.

Spraugas galā sērija var saplūst (absolūti vai nosacīti), bet tā var atšķirties.

Jaudas sēriju konverģence un izpēte, izmantojot kādu no konverģences pazīmēm.

Atrodiet sērijas konverģences reģionu:

Lēmums. Atrodiet sērijas konverģences rādiusu:

Līdz ar to šī sērija pilnīgi konverģē uz visu skaitļu asi.

Lēmums. Izmantojiet dalamber zīmi. Šai sērijai ir:

Sērija absolūti konverģē, ja vai. Mēs pētām sērijas uzvedību konverģences intervāla galos.

Kad mums ir virkne, kas apvienojas, pamatojoties uz Leibnizu.

Kad mums ir sērija - tas ir arī konverģējošā Leibnitsev sērija. Līdz ar to sākotnējās sērijas konverģences reģions ir segments.

Lēmums. Atrodiet sērijas konverģences rādiusu:

Līdz ar to sērija saplūst, t.i. pie.

Kad mums ir virkne, kas apvienojas, pamatojoties uz Leibnizu.

Kad mums ir atšķirīgas sērijas

Līdz ar to sākotnējās sērijas konverģences reģions ir plaisa.

Iv. Elementāru funkciju sadalīšanās Maclaurin sērijā.

Lietojumprogrammām ir svarīgi spēt sadalīt šo funkciju jaudas sērijā, t.i. funkcija, lai attēlotu jaudas sērijas summu.

Funkcijas Taylor sēriju sauc par formas jaudas sēriju

Ja, tad mēs saņemam īpašu Taylor sērijas gadījumu

ko sauc par Maclaurin sēriju.

Jaudas sēriju konverģences intervālā var termiski diferencēt un integrēt tik daudz reižu, cik vēlams, un iegūtajām sērijām ir tāds pats konverģences intervāls kā sākotnējai sērijai.

Divas jaudas sērijas var pievienot termiski un reizināt ar polinomu pievienošanas un pavairošanas noteikumiem. Šajā gadījumā iegūto jauno sēriju konverģences intervāls sakrīt ar sākotnējo sēriju konverģences intervālu kopējo daļu.

Lai funkciju sadalītu Maclaurin sērijā, jums:

Aprēķiniet funkcijas un tā secīgo atvasinājumu vērtības punktā, t.i.,,...,,

Sastādiet Maclaurin sēriju, aizstājot funkcijas un tā secīgo atvasinājumu vērtības Maclaurin sērijas formulā;

Atrodiet ar formulu iegūto sēriju konverģences intervālu

Tabula ar Maclaurin sērijas paplašinājumiem dažām elementārām funkcijām:

1. piemērs. Lai paplašinātu funkciju Maclaurin sērijā.

Lēmums. Kopš tā laika, aizstājot sadalījumu, mēs iegūstam:

2. piemērs. Uzrakstiet Maclaurin funkciju virkni.

Lēmums. Tā kā, izmantojot formulu, kurā mēs to aizstājam, mēs saņemam:

3. piemērs. Lai paplašinātu funkciju Maclaurin sērijā.

Lēmums. Mēs izmantojam šo formulu. Tā kā

, pēc tam nomainot, lai saņemtu:

V. Praktiskie uzdevumi studentu pašpārvaldei.

Izmantojot rindu salīdzinājuma zīmi, lai noteiktu konverģenci

vai sērijas atšķirības:

Izpētīt, pamatojoties uz d'Alembert, sērijas konverģenci:

Izpētīt konverģences (absolūtā vai nosacītā) mainīgo sēriju:

Atrodiet sekojošo sēriju konverģences intervālus un uzziniet jautājumu par to konverģenci konverģences intervālu beigās:

Izmantojot funkciju ",,, Maclaurin sērijas paplašinājumus, sadaliet funkcijas jaudas sēriju:

I.

  1. saplūst;
  2. atšķiras;
  3. saplūst;
  4. saplūst;
  5. atšķiras;
  6. saplūst;
  7. saplūst;
  8. atšķiras;
  9. saplūst;
  10. saplūst.

Ii.

  1. pilnīgi saplūst;
  2. pilnīgi saplūst;
  3. nosacīti;
  4. nosacīti;
  5. pilnīgi saplūst.

VII. Vēsturiskais fons.

Daudzu problēmu risinājums ir samazināts līdz funkciju un integrālu vērtību aprēķināšanai vai diferenciālvienādojumu risināšanai, kas satur nezināmu funkciju atvasinājumus vai diferenciācijas.

Tomēr šo matemātisko operāciju izpilde daudzos gadījumos ir ļoti sarežģīta vai neiespējama. Šādos gadījumos ir iespējams iegūt aptuvenu risinājumu daudzām problēmām ar jebkuru vēlamo precizitāti, izmantojot sēriju.

Sērija ir vienkāršs un ideāls matemātiskās analīzes rīks funkciju, integrālu un diferenciālo vienādojumu risinājumu aptuvenai aprēķināšanai.

Sērijas teorija tika izveidota ciešā saistībā ar teorētisko funkciju aprakstu polinomu formā. Pirmo reizi to izdarīja I. Ņūtons (1642 - 1727). 1676. gadā Vēstulē Londonas Karaliskās biedrības sekretāram parādījās formula:

mēs zinām kā Ņūtona binomiskā formula.

Šeit mēs redzam funkciju, kas attēlota kā polinoms. Bet, ja šis skaitlis nav dabisks, vienlīdzības labajā pusē mēs nesaņemam ne polinomu, bet bezgalīgu summu, ti, sēriju.

Izstrādājot ideju par Ņūtonu, angļu valodas matemātiķis Brooke Taylor (1685 - 1731) 1715. gadā. pierādīja, ka jebkuru funkciju, kurai ir visu pasūtījumu atvasinājumi, var salīdzināt ar:

Mēs nevaram vēl līdzvērtīgu zīmi izvietot starp funkciju, kas iegūst galīgo vērtību jebkurai vērtībai, un funkcionālu rindu pa labi.

Lai “” zīmes vietā būtu iespējams izvietot vienādu zīmi, ir nepieciešams veikt dažus papildu argumentus, kas tieši saistīti ar vienādības labajā pusē esošo terminu skaita bezgalību un kas attiecas uz sērijas konverģences reģionu.

Kad Taylor formula atbilst formai, ko sauc par Maclaurin formulu:

Kolins Maklaurins (1698 - 1746), Ņūtona skolēns, savā traktā par fluxiju (1742) konstatēja, ka jaudas sērija, kas izsaka analītisko funkciju, ir vienīgā, un tā būs Taylor sērija, ko rada šāda funkcija. Ņūtona binomijas formulā pilnvaru koeficienti ir vērtības, kur.

Tātad, sērija parādījās XVIII gadsimtā. kā veids, kā attēlot funkcijas, kas pieļauj bezgalīgu diferenciāciju. Tomēr sērijas pārstāvētā funkcija netika saukta par tās summu, un kopumā tajā laikā vēl nebija noskaidrots, kāda bija skaitlisku vai funkcionālu sēriju summa, tikai mēģinājumi ieviest šo koncepciju.

Piemēram, L. Eulers (1707-1783), izrakstījis atbilstošo funkciju sēriju, pievienoja mainīgo lielumu. Rezultāts bija skaitliska sērija. Eulers nolasa sākotnējās funkcijas vērtību tādā vietā kā šīs sērijas summa. Bet tas ne vienmēr ir taisnība.

Fakts, ka atšķirīgajām sērijām nav summas, zinātnieki sāka uzminēt tikai XIX gadsimtā, lai gan XVIII gs. daudzi, un galvenokārt L. Eulers, daudz strādāja par konverģences un atšķirības jēdzieniem. Eulers sauca sēriju konverģents, ja tā kopējais termins mēdz būt nulle ar pieaugošo.

Atšķirīgu sēriju teorijā Eulers ieguva daudz nozīmīgu rezultātu, taču šie rezultāti ilgu laiku netika atrasts. Atpakaļ 1826. gadā N.G. Abels (1802 - 1829), ko sauc par atšķirīgajām rindām, ir „velnišķīgā izgatavošana”. Eulera rezultāti attaisnoja tikai XIX gs. Beigās.

Izveidojot jēdzienu par konverģentu sēriju, Francijas zinātniekam O.L. Košī (1789 - 1857); viņš izdarīja ārkārtas summu ne tikai sērijas teorijā, bet arī ierobežojumu teorijā, izstrādājot paša ierobežojuma jēdzienu. 1826. gadā Cauchy paziņoja, ka atšķirīgajām sērijām nav summas.

1768. gadā Franču matemātiķis un filozofs J.L. D'Alembert pētīja nākamā termiņa attiecību ar iepriekšējo binomijas sērijā un parādīja, ka, ja šī attiecība ir mazāka par vienu absolūtā vērtībā, tad sērija konverģē. Košī 1821. gadā Viņš pierādīja teorēmu, kas vispārīgi atspoguļo zīmes pozitīvo sēriju konverģences zīmi, ko tagad sauc par D'Alembert zīmi.

Lai izpētītu mainīgo sēriju konverģenci, tiek izmantota Leibnitz funkcija.

G.V. Leibnica (1646 - 1716), lielais vācu matemātiķis un filozofs, kā arī I. Ņūtons ir diferenciālo un integrālo aprēķinu dibinātājs.

Primārā:

  1. Bogomolova N.V., praktiskā apmācība matemātikā. M., “Augstskola”, 1990 - 495 lpp.;
  2. Tarasova NP, augstākās matemātikas kurss tehniskajām skolām. M., “Zinātne”, 1971 - 448 lpp.;
  3. Zaitsevs I.L., augstākās matemātikas kurss tehniskajām skolām. M., tehnisko skolu valsts izdevniecība - teorētiskā literatūra, 1957 - 339 lpp.;
  4. Rakstisks DT, lekciju kurss par augstāko matemātiku. M., “Iris Press”, 2005, 2. daļa - 256 lpp.;
  5. Vygodska M.Ya, augstākās matemātikas rokasgrāmata. M., “Zinātne”, 1975 - 872 lpp.;

Papildus:

  1. Gusak AA, augstākā matemātika. 2 tonnas., Vol.2: Mācību grāmata universitātes studentiem. Mos., “TetraSystems”, 1988 - 448 lpp.;
  2. Griguletsky VG, Lukyanova IV, Petunina IA, matemātika ekonomisko specialitāšu studentiem. 2. daļa. Krasnodar, 2002 - 348 lpp.;
  3. Griguletsky V.G. utt. Questbook practicum matemātikā. Krasnodar. KSAU, 2003 - 170 lpp.;
  4. Griguletsky VG, Stepantsova KG, Getman VN, Grāmatvedības un finanšu departamenta studentu uzdevumi un uzdevumi. Krasnodar. 2001 - 173 sekundes;
  5. Griguletsky VG, Yashchenko Z.V., Augstākā matemātika. Krasnodars, 1998 - 186 lpp.;
  6. Malykhin VI, matemātika ekonomikā. M., “Infra-M”, 1999 - 356s.

Skaitliskās sērijas, to summa, konverģence, piemēri

Skaitļu sērijas jēdziens

Pirmā iepazīšanās ar mūsu lasītāju skaitlisko sēriju notika vidusskolā, pētot aritmētisko progresēšanu un ģeometrisko progresēšanu. No šīm mācībām jūs uzzinājāt, ka, lai precizētu šīs sekvences, ir nepieciešams noteikt likumu, kā secināt katru terminu secībā, parasti rakstot kā formulu.

Ja u 1, u 2, u 3,. u n,. ir bezgalīgs ciparu secība, pēc tam formāli rakstīts izteiksme

to sauc par bezgalīgu skaitļu sēriju (vai tikai sērijas). Elipsis beigās (reizēm jokot, ka tajā ir sērijas būtība) norāda, ka izteiksmei (1) nav pēdējais termins, vienmēr ir aiz katra termina. Tādējādi numuru sērija ir "bezgalīgā" skaitļu summa.

Īsumā (ar simbolu "sigma") numuru sēriju (1) var rakstīt kā

kur indeksa rādītāji summas simbola apakšā un augšpusē nozīmē, ka jums ir nepieciešams skaitļu u n summa, kad n ņem veselu skaitli no 1 līdz ∞.

Numuri u 1, u 2, u 3,. u n,. Tos sauc par numuru sērijas locekļiem, un sērijas dalībnieks, kas stāv no otrās vietas no sākuma, tiek saukts par tā kopīgo locekli.

Numuru sērijas piemēri ir:

Skaitļu sērijas noteikšanai ir jānorāda noteikums, tās biedru izglītības likums, saskaņā ar kuru var atrast jebkuru biedru (atkal atgādināt skolas nodarbības par aritmētiskajām un ģeometriskajām progresijām). Visbiežāk skaitļu sēriju izsaka ar vispārējā termina formulu kā dabiskā skaitļa n funkciju. Piemēram, ja, tad tiek definēta šāda numuru sērija:

ja mēs saņemam vairākas sērijas

Ja mēs vēl teiktu, ka ir dota skaitliska sērija, mēs pieņemsim, ka tā kopējais termins ir dots.

Piemērs 1. Pierakstiet piecus pirmās skaitļu sērijas dalībniekus, ja ir dots formulas kopējais termins:

Lēmums. Aizstājiet numurus 1, 2, 3, 4, 5 formulā n vietā.

2. piemērs. Uzrakstiet formulu skaitļu sērijas kopējam termiņam, ja ir doti pieci no tā pirmajiem dalībniekiem:

Lēmums. Mēs meklējam sērijas dalībnieku veidošanās modeli. Ir viegli redzēt, ka saucējs zināmā mērā ir 3. Sērijas pirmajam dalībniekam grāds ir nulle, tas ir, 1 - 1, otrais termins, grāds ir 1, tas ir, 2 - 1, piektajam, 4, tas ir, 5 - 1. Tāpēc skaitļa trīs pakāpe ir n - 1. rindā, skaitītājs vienmēr ir mazāks par 3n. Tādēļ sērijas kopējā termina formula:

Atrisiniet problēmas skaitliskajās sērijās neatkarīgi, un pēc tam skatiet risinājumus

3. piemērs. Ierakstiet pirmos 3 sērijas locekļus un.

4. piemērs. Definējiet kopīgu sērijas locekli

Skaitļu sērijas summa

Pievienojot ierobežotu skaitu papildinājumu, vienmēr iegūst noteiktu skaitlisku rezultātu, bet ne cilvēks, ne dators nevar aprēķināt neierobežota skaita papildinājumu summu, jo ciparu sērijas dalībnieku pievienošanas process (pēc definīcijas) nekad nebeidzas.

Tas nozīmē, ka izteiksme (1) ir formāla, jo nav definēts neierobežotu terminu skaits. Tomēr šajā izteiksmē tiek izteikta summēšanas zīme, un tas nozīmē, ka sērijas dalībnieki kaut kādā veidā pievienojas. Jebkura ierobežota skaita noteikumu summa tiks atrasta, ja tie tiks pievienoti pa vienam. Tas noved pie numura piešķiršanas skaitliskajai sērijai un to sauc par ciparu sērijas summu. Šim nolūkam tiek ieviesta sērijas daļējas summas koncepcija.

Numuru sērijas aptuvenās summas (1)

sauc par ciparu sērijas daļējām summām.

Skaitļu sērijas pirmo dalībnieku summu n sauc par n.

Skaitlisko sēriju daļējām summām ir ierobežots terminu skaits, tās ir “parastās” summas, tās var atrast, aprēķināt. Skaitļu sērijām mēs iegūstam bezgalīgu tās daļējo summu secību.

Skaitlisko sēriju konverģences jēdziens

Ja daļējo summu vērtības ar neierobežotu pieaugumu n, ti, kad tās ir noteiktas S skaitam, tad ir ierobežojums

tad numuru sēriju sauc par konverģentu.

Šo numuru S sauc par numuru sērijas summu. Šajā ziņā mēs varam uzrakstīt šādu vienlīdzību:

Sērijas konverģences piemērs:

Ne katrai skaitļu sērijai tās daļējo summu secība ir noteikta robeža. Piemēram, sērijai

daļējas summas pārmaiņus no 1 līdz 0:

Ja sērijas daļējo summu secības robeža nepastāv, tad skaitlisku sēriju sauc par atšķirīgu. Atšķirīgās summas nav.

5. piemērs. Nosakiet numuru sērijas daļējo summu

sadalot sērijas kopējo terminu elementārajās frakcijās, izmantojot nenoteiktu koeficientu metodi, un atrodiet sērijas summu.

Lēmums. Mēs sadalām sērijas kopējo terminu elementārajās daļās:

Tā kā frakcijas ir vienādas un saucēji ir vienādi, skaitītājiem jābūt vienādiem:

Šī vienlīdzība attiecas uz visiem n:

Sērijas daļēja summa:

6. piemērs. Izpētīt numuru sērijas konverģenci (2).

Lēmums. Mēs veicam sērijas daļējās summas:

Iedomājieties tos kā

Daļiņu summu veidošanā ir viegli pamanīt modeli: katrs atspoguļo starpību starp vienību un frakciju, kuras skaitītājs ir 1, un n-daļas daļējās summas saucējs ir n + 1, t.i.

Atrodiet daļējo summu secības robežu:

Tāpēc skaitļu sērija (2) konverģē, tās secība ir 1.

Izpētīt numuru sērijas konverģenci (3):

ko sauc par ģeometrisko, jo tā locekļi ir ģeometriskas progresijas locekļi, kuru pirmais loceklis ir a, un saucējs ir q.

Apsveriet šīs sērijas daļējo summu:

Tas ir vienāds ar ģeometriskās progresijas nosacījumu summu, ja

Atrodiet ģeometriskās sērijas daļējo summu secības robežu. Jāizšķir četras iespējas:

1. Ja tas ir iemesls, kāpēc

2. Ja tā nav, tad daļējo summu secībai nav ierobežojuma.

3. Ja q = 1, tad iegūstam sēriju a + a + a +. +.. Viņa otrā daļēja summa

atkarībā no a.

4. Ja q = - 1, tad mēs iegūstam virkni

Tā daļējās summas pārmaiņus ir a un 0:

un tā tālāk Taču šādai secībai nav ierobežojuma.

Mēs noskaidrojām, ka ģeometriskā sērija (3) konverģē, ja saucējs ir mazāks par vienu:

un tā summa ir vienāda ar

un atšķiras, ja vienāds vai lielāks par vienu:

7. piemērs. Izpētīt ciparu sēriju konverģenci:

Lēmums. Tās ir ģeometriskas rindas. Skaits (*)

sērijai (***) q = 4/3; sērijai (****) q = - 1. Tāpēc pirmās divas rindas saplūst un pēdējās divas atšķiras.

8. piemērs. Nosakiet, vai skaitļu sērija konverģē

Ja jā, atrodiet tā summu.

Lēmums. Šī sērija ir ģeometriska blakus pirmajam dalībniekam un. Kopš sērijas konverģē. Sērijas summu nosaka pēc ģeometriskās sērijas summas formulas.

Iestatiet sērijas konverģenci pats un pēc tam skatiet risinājumu

9. piemērs. Nosakiet, vai rinda saplūst.

Konverģējošo numuru sēriju īpašības

Ļaujiet piešķirt virkni ar kopīgu locekli. Tad rinda ar kopējo locekli, tas ir, rinda

to sauc par sērijas (1) produktu ar skaitli c. Sērijas (1) konverģence garantē konverģenci un tās produktus ar ciparu c. To nosaka ar šādu teorēmu.

1. rinda. Ja sērija (1) konverģē un tā summa ir vienāda ar S, tad tā produkts ar skaitli c arī konverģē un ir vienāds ar S:

Līdz ar to konverģentu sēriju dalībnieku kopīgo faktoru var izslēgt no iekavām, paturot prātā vienlīdzības izpildi (12).

Dodiet divas rindas ar kopējiem dalībniekiem un:

Tad rinda ar kopējo locekli

sauc par šo sēriju summu:

2. teorēma. Divu konverģentu sēriju summa ir konverģences sērija, un tās summa ir vienāda ar

kur S 'un S' 'ir sērijas komponentu summa:

Tas nozīmē, ka konverģences sērijas var pievienot termiņam, un, ņemot vērā 1. teoriju, to var atņemt, paturot prātā vienlīdzības (16) izpildi sērijas summai un vienlīdzību sērijas atšķirībai.

Definīcija Atšķirība starp S un konverģējošo ciparu sēriju S n daļējo summu tiek paplašināta ar atlikušo sēriju un tiek apzīmēta ar Rn:

Par konverģentu sēriju

tas nozīmē, ka atlikušās konverģences sērijas robeža ir vienāda ar nulli.

3. rinda. Ja sērija konverģē, tad jebkurš tā atlikums konverģē, un, otrādi, ja kāds no sērijas atlikumiem konverģē, tad pati sērija arī konverģē.

Tas nozīmē, ka sērijas konverģenci neietekmē neviens galīgais tās pirmo locekļu skaits. Sērijā jūs varat nomest vai pievienot to jebkuram ierobežotam dalībnieku skaitam. No tā netiek pārkāpta sērijas konverģence (vai atšķirība), bet tā summa mainās.

Ja sērijas konverģence tiek noteikta, pamatojoties uz konverģences definīciju, tad tiks atrasts arī tās apjoms. Tāpēc mēs pētījām 2. un 3. sērijas konverģenci. Tomēr bieži vien ir ļoti grūti atrisināt sērijas konverģences jautājumu. Tāpēc tiek izmantota cita metode, kas ļauj noteikt tikai sērijas konverģences faktu (atšķirību), jo konverģentu sēriju summu vienmēr var atrast ar jebkādu precizitātes pakāpi, aprēķinot pietiekami lielu skaitu pirmo dalībnieku.

10. piemērs. Atrodiet numuru sērijas summu

Lēmums. No 1. un 2. punkta par konverģences sērijas īpašībām seko:

ja sērija un konverģē un un tad jebkuram reālajam skaitlim α un β sērija arī konverģē un.

Pāriet pie sēriju konverģences pazīmēm.

Nepieciešamās zīmes konverģences zīme

Teorēma. Ja sērija konverģē, tad tā kopējā termina robeža ir

Izmeklēšana. Ja sērijas kopējā dalībnieka robeža ir

nav nulle, sērija atšķiras.

11. piemērs. Izmantojot nepieciešamo konverģences atribūtu, izpētīt skaitļu sēriju konverģenci

Lēmums. Kopējais sērijas loceklis

Atrodiet tās ierobežojumu

Tāpēc šī sērija atšķiras.

12. piemērs. Izmantot nepieciešamo konverģences atribūtu, izpētīt skaitļu sēriju konverģenci

Lēmums. Atrodiet sērijas kopējo termiņu

Tā kā (kopējais termiņš nav nulle), šī sērija atšķiras.

Iestatiet sērijas konverģenci pats un pēc tam skatiet risinājumu

Piemērs 13. Izmantojot nepieciešamo konverģences atribūtu, noskaidrojiet, vai sērija konverģē

14. piemērs. Nosakiet, vai rinda saplūst.

15. piemērs. Ierakstiet piecus ciparu sērijas locekļus

un noteikt, vai šī sērija konverģē.

Lēmums. Pirmie pieci šī sērijas dalībnieki:

Atrodiet sērijas kopējo termiņu

Tā kā (kopējais termiņš ir nulle), šī sērija konverģē.

Mēs noskaidrojām, ka, ja skaitļu sērija konverģē, tad tā vispārējā termina robeža ir nulle, kas nozīmē, ka nosacījums (17) ir izpildīts.

Tomēr nosacījuma (17) izpilde negarantē skaitlisku sēriju konverģenci, un tas nav pietiekams. Ir atšķirīgas rindas, kuru robežas ir kopīgi

Šādas sērijas piemērs ir sērija (4):

ko sauc par harmoniku. Tā daļējo summu secība

monotoni palielinās, jo sērijas noteikumi ir pozitīvi. Mēs parādām, ka tas palielinās neierobežoti. Lai to izdarītu, harmonikas sērijas dalībnieki, sākot ar trešo, apvienojas grupās:

Pirmajā ir divi locekļi (3. un 4.), otrajā

loceklis (no 5. līdz 8.) trešajā

locekļi (no 9. līdz 16. vietai) utt., katru reizi divkāršojot grupas locekļu skaitu. Šādas grupas ir acīmredzami bezgalīgas. Ja mēs katras grupas sērijas locekļus nomainīsim ar saviem pēdējiem locekļiem, tad šīs grupas locekļu summa samazinās, un tad nevienlīdzība ir patiesa

Katras grupas locekļu summa ir lielāka par 1/2, un pietiekami lielā skaitā grupu dalībnieku summa ir patvaļīgi liela. Līdz ar to harmonisko sēriju daļējo summu secība palielinās uz nenoteiktu laiku, un sērija atšķiras, lai gan tās kopējais termins

ir nulle.

Ņemiet vērā, ka harmonisko sēriju daļējās summas palielinās, lai gan ierobežotas, bet lēnām.

Sērijas konverģences izpēte parasti sākas ar nosacījuma (17) izpildes pārbaudi, lai nekavējoties izolētu atšķirīgās sērijas, kurām šis nosacījums nav izpildīts. Tomēr šī nosacījuma izpilde tikai norāda, ka sērija var saplūst. Tas saplūst vai atšķiras, jāparāda papildu pētījumi, izmantojot pietiekamas zīmes, kuru izskatīšana ir sniegta nākamajā sadaļā "Rindas".

Augstākā matemātika

Sērijas risinājumu piemēri šeit.

Skaitliskās rindas

Faktori un divkāršie faktori:

Ģeometriskā virzība:

  • Dalampa zīme
    Ja pastāv, tad: konverģē, ja l 1; zīme nesniedz atbildi, ja l = 0.
  • Cauchy zīme
    Ja pastāv, tad: konverģē, ja l 1; zīme nesniedz atbildi, ja l = 0.
  • Integrācijas zīme
    1) un > 0; 2) un ≥ un + 1; 3) f (x) ir nepārtraukta nepalielinoša funkcija, f (n) = un.
    Vai un, un saplūst,
    vai nu, un atšķiras.
    • Mainīgas rindas

    • Absolūtā konverģence
      Sērija konverģē, no kā izriet, ka sērija saplūst.
    • Nosacīta konverģence
      Sērija atšķiras, bet sērija konverģē.
    • Mainīgas rindas
      Skatu rindas vai kur un > 0
    • Leibnica zīme (mainīgo sēriju konverģence)
      Ja 1) u1 > u2 > u3 >..., 2) tad 1) sērija konverģē; 2) tā summa ir S> 0 un 3) S 1; atšķiras, ja a ≤ 1.
    • : konverģē, ja a 1; atšķiras, ja a ≤ 1.
    • : konverģē nosacīti.
    • : absolūti saplūst.
    • : absolūti saplūst.
    • Funkcionālās rindas

      Funkcionālā sērija - veidlapas summa

      Ja no sērijas iegūst funkcionālu numuru

      Ja skaitļu sērijas konverģē, tad punktu sauc par funkcionālās sērijas konverģences punktu. Ja katrā rindā skaitliskās sērijas saplūst, tad funkcionālo sēriju reģionā sauc par konverģentu. Visu konverģences punktu kombinācija veido funkcionālās sērijas konverģences reģionu.

      - sērijas daļējas summas. Funkcionālā sērija konverģē uz funkciju f (x), ja

      Vienota konverģence

      Funkcionālā sērija, kas konverģē visu konverģences jomu, šajā reģionā tiek saukta par vienveidīgu konverģenci, ja ∀ε> 0, pastāv indekss N (ε), kas nav atkarīgs no x, tā, ka n> N (ε) nevienlīdzība R irn(x) y> f (x) + ε, tad visu daļējo summu S diagrammask(x), sākot ar pietiekami lielu k, ∀x ∈ [a, b], pilnībā atrodas šajā “ε-sloksnē”, kas ieskauj robežfunkcijas y = f (x) grafiku.

      - domēnā tiek saukts par majorizētu, ja ir šāda konverģences numuru sērija un > 0, forx ∈ D fn(x) ≤ un, n = 1, 2,.... Sēriju sauc par sērijas galveno.

      Weierstrass zīme (funkcionālās sērijas vienotas konverģences zīme): funkcionālā sērija konverģences reģionā vienmērīgi konverģē, ja tā tiek pārveidota šajā reģionā.

      Jaudas sērija:
      - jaudas sērijas pilnvarās
      Kad - jaudas sērijas x pilnvarās.

      Jaudas sērijas konverģences reģions:
      Konverģences rādiuss, konverģences intervāls R, x ∈ (-R, R):
      vai
      Kad | x | R - atšķiras;
      punktā x = ± R - papildu pētījumi.

      Konverģences intervālā sērija konverģē absolūti;
      jebkurā konverģences intervāla segmentā tas vienādi konverģē.

        Power Series rekvizīti

      OSP, NSZ: kas tas ir un kā to sagatavot

      Čehijas un pēcpadomju valstu skolu sistēma ir atšķirīga, un ārvalstu dalībniekam ir jāapzinās šīs atšķirības. Šajā rakstā runāsim par maturītu un fakultātēm, kurām nepieciešama īpaša pārbaude - OSP, ZSV un TSP NSZ ietvaros.

      Maturita

      Pilna laika studijas Čehijas skolās ilgst trīspadsmit gadus. Bieži pēc devītās pakāpes skolēni, kas nokārtojuši visus nepieciešamos eksāmenus, dodas uz ģimnāziju vai vidusskolas speciālo skolu, kur viņi mācās vēl četrus gadus un beigās pabeidz eksāmenus, lai iegūtu vidusskolas diplomu.

      Lai iekļūtu augstskolā, čehu studentiem ir jāiziet eksāmens vairākos obligātos un selektīvajos priekšmetos, kas sastāv no rakstiskas un mutiskas daļas. Pirmā atšķirība ir tāda, ka, piemēram, krievu skolās EGE (čehu matemātikas veida analogs) nodošana ir obligāta ne tikai iekļaušanai universitātē, bet arī skolas izglītības sertifikāta iegūšanai. Čehijas Republikā maturīts ir nepieciešams tikai tiem, kas turpinās tālākizglītību augstskolā. Tas nozīmē, ka tā neesamība neietekmēs dokumenta par vispārējo izglītību saņemšanu.

      Skolēni nokārto trīs obligātos priekšmetus: matemātiku, čehu un angļu valodu, kā arī pāris izvēles priekšmetus. Pēc tam ārzemnieks, kurš ir nokārtojis čehu valodas maturit, tiek atbrīvots no ieejas eksāmeniem tajā.

      Otrā atšķirība ir tā, ka Krievijas EGE bieži kļūst par galveno eksāmenu universitātes ieejai, ja mēs nerunājam par radošām augstskolām vai dažu augstskolu īpašajiem noteikumiem, saskaņā ar kuriem dalībniekam joprojām tiek veikti ieejas testi. Čehijā, gandrīz visās fakultātēs, nepieciešams nokārtot eksāmenus, kuros iztirzāsim izņēmumus kādā no šiem pantiem.

      "Speciālie" testi

      Dažās specialitātēs, lai izietu konkursu, ir pietiekami labi pierādīt sevi mutvārdu eksāmenā, kur dalībnieks atbild uz pāris jautājumiem par specialitāti. Citiem jums ir jāiet cauri divām vai trim ekskursijām, lai nokļūtu kāroto uzņemšanas sarakstā.

      Ir arī tādas specialitātes, kurās galvenā prasība ir veiksmīga NSZ - Národní srovnávací zkoušky (Krievijas Nacionālā salīdzinošā eksāmena) pārbaude, kurā tiek veikti šādi testi: Obecné studijní předpoklady (krievu valoda. Vispārējie priekšnosacījumi apmācībai), Základy společenských vědechny Krievu sociālo zinātņu pamati), NSZ Přírodní vědy (Rus. Dabaszinātnes) un daži citi.

      Pārbaudes apkopo kompānija Scio, oficiālajā tīmekļa vietnē, kurā var atrast materiālu paraugus, padomus un fakultātes sarakstu, kas pieņem pretendentus, pamatojoties uz eksāmenu: https://www.scio.cz/.

      Piecdesmit no tām ir Čehijas Republikā, tostarp, piemēram, Kārļa universitātes Juridiskā fakultāte un Sociālo zinātņu fakultāte, Prāgas Augstskolas Informātikas un statistikas fakultāte, УWUT arhitektūras fakultāte un citi.

      Esiet uzmanīgs: OSP tests nav paredzēts visām uzskaitīto fakultāšu specialitātēm!

      Kādi ir testi

      Jūs varat reģistrēties eksāmenam pirms uzaicinājuma iesniegšanas - izglītības pieteikums, kuru pieteikuma iesniedzēji ziemā nosūta uz vēlamo universitāti. Lai to izdarītu, dodieties uz oficiālo Scio tīmekļa vietni, reģistrējieties tajā, atlasiet punktus: Přijímačky na VŠ, Přihlasit, atzīmējiet nepieciešamo eksāmenu, maksājiet par to.

      Eksāmens notiek sešas reizes gadā: 10. decembrī, 3. februārī, 4. martā, 1. aprīlī un divdesmit devītajā septembrī. Tātad, iesniedzējam ir seši mēģinājumi iziet NSZ, bet universitāte saņems tikai vislabāko rezultātu.

      OSP tests sastāv no vairākām daļām: mutiski, kvantitatīvi, loģiski un argumentēti. Divdesmit trīsdesmit minūtes tiek piešķirtas pirmajiem diviem un pusstundu līdz pēdējai.

      Verbālā daļa pārbauda pieteikuma iesniedzēja spēju strādāt ar valodu. Piemēram, būs nepieciešams papildināt teikumus, lai noteiktu vārdu nozīmi.

      Kvantitatīvā daļa strādā ar skaitļiem, procentiem. Testa sastādītāji nodrošina, ka šo uzdevumu risināšanai nav nepieciešamas padziļinātas zināšanas matemātikā.

      Loģiskā daļa ir loģiskie uzdevumi.

      Argumentācijas sadaļa ir spēja noteikt teksta nozīmi, lai atrastu pareizo paziņojumu.

      Scio tīmekļa vietnē varat nokārtot pārbaudes testus ar pareizajām atbildēm.

      Kā sagatavoties

      Vissvarīgākais ir sākt sagatavoties iepriekš. Noteikti iegādājieties grāmatas ar testiem un atbildēm uz tām. Tas var būt, piemēram, OSP 9 Scio, kura cena svārstās ap trīs simti kronu, vai arī opcija ir dārgāka: Cvičebnice OSP: komplexní příprava na test Obecné studijní předpoklady 2015/2016. Nepieciešams pastāvīgi risināt izmēģinājuma iespējas, lai izprastu uzdevumu principu un ātri izpildītu visu, kas ir eksāmenā.

      Nebūs lieku grāmatu no Odmaturuj sērijas, kurā apkopota īsa informācija par visu konkrētā mācību priekšmeta skolu. Šajā tīmekļa vietnē: http://www.osp-zdarma.cz/ četras pārbaudes daļas ar uzdevumiem tiek noteiktas katru mēnesi. Jūs varat iet caur tiem tiešsaistē un pēc tam saņemt atbildi ar rezultātiem. Šī ir lieliska iespēja tiem, kas nevēlas iegādāties grāmatas ar testiem.

      Pareizi piešķiriet laiku, lai sagatavotos eksāmenam, izlemtu pēc iespējas vairāk testu un pārliecinieties, ka būs veiksmīgs! Neaizmirstiet, ka ar jebkuru jautājumu par NSZ jūs varat sazināties ar Izglītības centra asociācijas pieredzējušajiem skolotājiem.

      Matemātikas rinda

      1. Definīcijas. R. ir elementu secība, ko apkopo daži likumi. Ja R. tiek dots, tas nozīmē, ka ir norādīts likums, ar kura palīdzību ir iespējams sastādīt jebkuru skaitu R. elementu. Saskaņā ar elementu īpašībām tiek nodalītas skaitļu R., funkciju funkciju R. un darbību R. un R. Sniegsim dažus piemērus.

      ir R. dabiskie skaitļi;

      a 0, a 1 x, a 2 a 2,. a n x n.

      - R. jaudas funkcijas vai jauda R.

      Šeit skaitļi a 0, a 1, a 2. a n. rakstīts saskaņā ar kādu likumu, piemēram,.

      1, x, x 2 / (1.2), x 3 / (1.2.3). x n / (1.2 n),.

      0, x, x 2/2, x 3/3, x 4/4. (—1) n-1 x n / n..

      Lai aprēķinātu noteiktas izteiksmes skaitlisko vērtību, ir nepieciešams veikt darbību. Piemēram,

      Ar R. rīcību tiek meklēts lielākais dalītājs divos norādītajos numuros.

      P. u 0, u 1, u 2,... u n.

      zvanu bezgalīgs, ja pēc katra elementa u k ir elements u k + 1; pretējā gadījumā R. tiek saukts. fināls. Piemēram,

      ir ierobežots R., jo pēc elementa 10 nav elementu.

      2. Numurs, ko nosaka numurs.

      Īpaši svarīga ir formas bezgalīgā R.

      (1). 1/10, 2/10 2,. a n / 10 n,.

      kur a 1, a 2, a 3,. a n,. pozitīvi veseli skaitļi, 0 ir patvaļīgi liels; katrs no pārējiem skaitļiem a 1, a 2, a 3,. mazāk par 10. Šādu sēriju var saukt par numuru, jo ir iespējams salīdzināt šo sēriju ar racionāliem skaitļiem (sk.), ir iespējams noteikt vienlīdzības, summas, produkta, atšķirības un šādu sēriju koeficientu.

      R. (1) mēs apzīmējam īsumu ar vienu burtu a.

      Ir teikts, ka a ir vairāk nekā racionāls skaitlis p / q, ja pietiekami lielam n ir nevienlīdzība

      0 + a 1/10 + a 2/10 2 +. + a n / 10 n> p / q

      Ja ar kādu n

      0 + a 1/10 + a 2/10 2 +. + n / 10 n nav> p / q

      bet ar pietiekami lielu n

      0 + a 1/10 + a 2/10 2 +. + a n / 10 n> r / s

      kur r / s ir patvaļīgi pieņemts skaitlis mazāks par p / q, tad tiek uzskatīts, ka a ir vienāds ar p / q.

      Pamatojoties uz to, R.

      9/10, 9/10 2, 9/10 3.

      ir vienāds ar vienu. Šo vienlīdzību apzīmē šādi: 0, 999. = 1.

      Ja a nav vienāds ar 9, un visus turpmākos numurus

      a k +1, a k +2, a k +3,. vienāds ar 9, tad skaitlis a, ko definē P. (1), ir vienāds ar

      0 + a 1/10 + a 2/10 2 +. + (a k + 1) / 10 k.

      Ja ne visi skaitļi ir k + 1, bet k + 2, bet k + 3. vienāds ar 9

      a = 0 + a 1/10 + a 2/10 2 +. + a k / 10 k

      Var gadīties, ka visi sērijas elementi (1), sākot ar k + 1, ir vienādi ar nulli. Šajā gadījumā saskaņā ar definīciju

      Ja R. ar pozitīviem locekļiem

      bet, un 0, un 1, u 2,. un n.

      lim (u n + 1) / u n = 1 - r / n + θ (n) / n α,

      kur r nav atkarīgs no n, α> 1 un θ (n) skaitliskajā vērtībā paliek nemainīgi mazāks par kādu pozitīvu skaitli, tad P. konverģē, kad r> 1 un atšķiras, kad r ir mazāks vai = 1 (miecētava, ievads a la teorijā) fonctions d'une mainīgais ", 84. lpp.).

      4. Nosacīta un absolūta konverģence. Ja R. (4) v 0, v 1, v 2. v n.

      konverģents, bet R. tās locekļu moduļiem atšķiras, tad viņi saka, ka R. (4) ir nosacīti konverģents. Piemēram,

      R. aicināja absolūti konverģents, ja tā dalībnieku R. moduļi saplūst.

      Nosacītā konverģences R. summa mainās atkarībā no tās locekļu kārtības. Piemēram,

      1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +. = log2,

      bet 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +.

      = 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +. = 1/2 log 2.

      Absolūti konverģences R. summa nav atkarīga no tās locekļu kārtības.

      Ja skaitļi a un b sadalās pilnīgi konverģencē R.

      a = a 0 + a 1 + a 2 +.

      b = b 0 + b 1 + b 2 +.

      a 0b 0, a 0b 1 + a 1 b 0, a 0b 2 + a 1 b 2 + a 2b 0,.

      absolūti konverģents un turklāt

      a 0b 0 + (a 0b 1 + a 1 b 0) + (a0b2 + a1b2 + a 2b 0) +. = ab

      5. Vienota konverģence. Pieņemsim, ka dotais R.

      (5). f 0 (x), f 1 (x), f2 (x),. f n (x),.

      kuru locekļi ir viena mainīgā x funkcijas, kas var būt gan reālas, gan iedomātas (skatīt) vērtības. X vērtības, kurām šis R. ir konverģents, kombinācija veido tā saukto konverģences domēnu.

      R., x, 1.2 x 2, 1.2.3 x 3,..

      konverģents tikai x = 0.

      R. 1, x, (1/2 + 1,2 x 2), (1/3 + 1.2.3 x 3),.

      atšķiras ar katru x.

      R. 1, x / 1, (x 2 / 1,2), (x 3 / 1,2,2),.

      vākšana pie jebkuras x vērtības. Ja jauda P. α 0, α 1 x, α 2 x 2,.

      vākšana par kādu vērtību x, kas nav vienāda ar nulli, tad šis P. ir nolaišanās. un jebkuram x, kura modulis ir mazāks par kādu skaitli R. Ja mēs izmantojam iztēles daudzumu ģeometrisko attēlojumu (skat.), Tad varam teikt, ka šī R. konverģences reģions ir R rādiuss.

      Piemērs ir ģeometriskā virzība

      1, x, x 2, x 3,. kura rādiuss konverģences lokā ir vienāds ar vienu.

      Ja x pieder vākšanas reģionam. P. (5), tad jebkuram n lielākam par kādu skaitli m

      mod [f n (x) + f n + 1 (x) + f n + 2 (x) +. ] Žurnāls ε / Log x

      Tālāk, šajā gadījumā

      Kā redzat, t ir atkarīgs no x. Neatkarīgi no tā, cik liels m, intervālā (0, 1) ir x vērtības, lai nevienlīdzība (7) netiktu apmierināta nevienam n, lielākam par m. Ja x = 1, tad nevienlīdzība (7) ir izpildīta, ja n ir lielāka par vai = 1

      Tas pierāda, ka aplūkotais R. ir nevienmērīgi nolaists. no 0 līdz 1.

      0–1, un pie x = -1, ja m> 0 (Abel, "Oeuvres complètes", 1881, 245. lpp.).

      Ar tiešās dalīšanas palīdzību racionālas funkcijas tiek sadalītas spēkos R. Jūs varat izmantot šim nolūkam un nenoteiktu koeficientu metodi. Izvietošana, piem.

      1 / (1 + 2 t + 5 t 3 + 3 t 3) = y 0 + y 1 t + y 2 t 2 + y 3 t 3 +.

      y 0 = 1, y 1 + 2 y 0 = 0, y 2 + 2 y 1 + 5 y 0 = 0,

      y 3 + 2 y 2 + 5 pie 1 + 3 pie 0 = 0,

      y 4 + 2 y 3 + 5 pie 2 + 3 pie 1 = 0 utt.

      R. koeficienti y 0, y 1, y 2. ir īpašums, ka četri secīgi koeficienti. ir savienoti ar attiecību y n +3 + 2 y n + 2 + 5 pie n +1 + 3 pie n = 0.

      Šāda veida R. sauca. atpakaļ. No rakstītajiem vienādojumiem secīgi nosaka y 0, y 1, y 2.

      Šīs funkcijas sadalīšanās R. tiek konstatēta ar integrālā aprēķina palīdzību, ja ir zināma sadalīšanās R.. Tādējādi tiek iegūta sadalīšanās.

      (14). loka tg x = x - (x 3/3) + (x 5/5) -.

      (15). loka sin x = x / 1 + 1/2 (x 3/3) + (1,2 / 2,4) (x 5/5) +.

      derīgs x atbilstošu nosacījumu vērtībām

      Šeit loka tan x un loka sin x apzīmē skaitļus, kas atrodas starp –π / 2 un π / 2 un tg vai grēks ir x.

      R. (14) ar Machena formulu (Machin)

      π / 4 = 4 loka tg (1/5) - loka tg (1/239)

      ļauj ļoti ātri aprēķināt π ar lielu skaitļu aiz komata. Tādējādi aprēķina π ar 707 zīmes aiz komata. Funkciju sadalīšanās trigonometriskajā R. un eliptisko funkciju sadalīšanās tiks aprakstīta vēlāk.

      F.A. enciklopēdiska vārdnīca. Brockhaus un I.A. Efron. - S.-PB.: Brockhaus-Efron. 1890-1907.

      Skatiet, kas ir "Rinda matemātikā" citās vārdnīcās:

      RANGE (matemātikā) - RANGE, bezgalīga sērija, kuras locekļu izteiksme ir a1, a2. a. numuri (numuru sērijas) vai funkcija (funkciju sērija). Ja sērijas pirmo n dalībnieku summa (daļējā summa): Sn = a1 + a2 +. + ar neierobežotu pieaugumu n mēdz...... Enciklopēdisks vārdnīca

      Rinda matemātikā - saturs. 1) Definīcija. 2) numurs, ko nosaka numurs. 3) Sērijas konverģence un novirze. 4) Nosacīta un absolūta konverģence. 5) Vienota konverģence. 6) Sērijas funkciju sadalīšana. 1. Definīcijas. R. ir elementu secība,...... F.A. enciklopēdiska vārdnīca Brockhaus un I.A. Efrona

      Rinda - ir vairākas nozīmes: rinda ir homogēnu, līdzīgu objektu kopums, kas sakārtoti vienā rindā. Sērijas kopums jebkurām parādībām, kas seko viena pēc otras noteiktā secībā. Daži no tiem, ievērojama summa, piemēram, "vairākas valstis"... Wikipedia

      Sērija (matemātiskā) - A sērija, bezgalīga summa, piemēram, forma u1 + u2 + u3 +. + un +. vai, īsi sakot, (1) Viens no vienkāršākajiem R. piemēriem, kas jau ir sastopami elementārajā matemātikā, ir bezgalīgi samazinoša ģeometriskā progresa 1 + q + q 2 + summa. + q...... Lielā padomju enciklopēdija

      Taylor sērija - Taylor sērija ir funkcija, kas sadalās bezgalīgā jaudas funkciju apjomā. Sērija ir nosaukta pēc angļu matemātiķa Brooke Taylor, lai gan Taylor sērija bija pazīstama jau sen, pirms Grīnijs 17. gadsimtā Taylor publikācijas izmantoja, un...... Wikipedia

      Maclaurin sērija - Taylor sērijas funkcijas sadalīšana bezgalīgā jaudas funkciju apjomā. Sērija ir nosaukta pēc angļu matemātiķa Taylora, lai gan Taylor sērija bija pazīstama jau sen, pirms Grīnorijs, kā arī Ņūtons izmantoja jau 17. gadsimta Taylor publikācijas. Rindas...... Wikipedia

      Taylor sērija - funkcijas sadalīšanās bezgalīgā jaudas funkciju apjomā. Sērija ir nosaukta pēc angļu matemātiķa Taylora, lai gan Taylor sērija bija pazīstama jau sen, pirms Grīnorijs, kā arī Ņūtons izmantoja jau 17. gadsimta Taylor publikācijas. Taylor Rows...... Wikipedia

      Möbius sērija - Möbius sērija Sugu funkcionālā sērija Šo sēriju pētīja Möbius, kurš atradis šīs sērijas aprites formulu: kur ir Möbius funkcija... Wikipedia

      Rinda - I m. 1. Vienā rindā izvietoto viendabīgo objektu kopa. no Veidot vienā rindā; rangs. 2. Lineāra rindu secība teātrī, kinoteātrī utt. no Personas, kas aizņem šādas vietas. 3. Stendos atrodas vienā rindā... Mūsdienu skaidrojošā vārdnīca krievu valodā Ephraim

      Rinda - I m. 1. Vienā rindā izvietoto viendabīgo objektu kopa. no Veidot vienā rindā; rangs. 2. Lineāra rindu secība teātrī, kinoteātrī utt. no Personas, kas aizņem šādas vietas. 3. Stendos atrodas vienā rindā... Mūsdienu skaidrojošā vārdnīca krievu valodā Ephraim